Radiciação - simplificação

por **Danilo** » Dom Ago 12, 2012 00:39

Empacado em mais um exercício...

Simplifique a expressão $\frac{2a \sqrt[]{ 1 + {x}^{2}}}{x + \sqrt[]{1 + {x}^{2}}}$ , sabendo que x = $\frac{1}{2}\left(\sqrt[]{\frac{a}{b}} - \sqrt[]{\frac{b}{a}} \right)$ (0<b<a).

Bom, a primeira coisa que fiz foi racionalizar a expressão $\frac{2a \sqrt[]{ 1 + {x}^{2}}}{x + \sqrt[]{1 + {x}^{2}}}$ e eu cheguei a $2a{x}^{2} + 2a - 2ax\sqrt[]{1+{x}^{2}}$ . Aí depois eu apenas substituo o valor de x na equação. Mas dá uma expressão astronômica e eu acabo não conseguindo chegar no resultado... Há alguma forma mais simples de fazer? Grato desde já... só faltam 3 exercícios pra eu terminar a sequencia do conteúdo em questão... mas eu não consigo passar para frente sem resolver todos. Uma outra pergunta: Como eu pesquiso se há uma questão igual utilizando o latex? Grato.

por **MarceloFantini** » Dom Ago 12, 2012 01:16

tNote que

$\frac{2a \sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{x - \sqrt{1+x^2}}{x- \sqrt{1+x^2}}$

$= \frac{2a \sqrt{1+x^2} (x - \sqrt{1+x^2})}{x^2 - (\sqrt{1+x^2})^2}$

$= \frac{2ax \sqrt{1+x^2} - 2a(1+x^2)}{x^2 -1-x^2}$

$= 2a(1+x^2) - 2ax\sqrt{1+x^2}$ .

Agora, se $x = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right)$ , então $2x = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ .

Vamos agora transformar o lado direito da equação. Precisamos colocar em um denominador comum, logo vou multiplicar e dividir a primeira fração por $\sqrt{a}$ e a segunda por $\sqrt{b}$ . O resultado é

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{ab}} - \frac{b}{\sqrt{ab}} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}}.$ .

Procure fazer o resto.

por **Danilo** » Dom Ago 12, 2012 02:55

MarceloFantini escreveu:tNote que

$\frac{2a \sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{x - \sqrt{1+x^2}}{x- \sqrt{1+x^2}}$

$= \frac{2a \sqrt{1+x^2} (x - \sqrt{1+x^2})}{x^2 - (\sqrt{1+x^2})^2}$

$= \frac{2ax \sqrt{1+x^2} - 2a(1+x^2)}{x^2 -1-x^2}$

$= 2a(1+x^2) - 2ax\sqrt{1+x^2}$ .

Agora, se $x = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right)$ , então $2x = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ .

Vamos agora transformar o lado direito da equação. Precisamos colocar em um denominador comum, logo vou multiplicar e dividir a primeira fração por $\sqrt{a}$ e a segunda por $\sqrt{b}$ . O resultado é

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{ab}} - \frac{b}{\sqrt{ab}} = \frac{a-b}{\sqrt{ab}}.$ .

Procure fazer o resto.

Depois de várias tentativas, consegui. Valeu ! Só faltam dois ahueaeuhaehe :-D

por **LuizAquino** » Seg Ago 13, 2012 11:05

Danilo escreveu:Uma outra pergunta: Como eu pesquiso se há uma questão igual utilizando o latex?

Não dá para fazer uma pesquisa aqui usando os comandos do LaTeX.

Você deve fazer uma busca usando o enunciado do exercício ou ainda palavras chaves sobre ele.