Soma de Dois Radicais Cúbicos

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Soma de Dois Radicais Cúbicos

Mensagempor sony01 » Sex Abr 27, 2012 12:10

A expressão x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} é múltiplo de 4. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique matemáticamente.

Cálculo

Eu sei que: (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}

x^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3

x^3 = 20 + \not 14 \sqrt{2} + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^2 \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^2 + 20 - \not 14 \sqrt{2}

x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) \cdot \left[ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]

x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{400 - 392}) \cdot \left[ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]

Mas, x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}, então eu posso substituir:

x^3 = 40 + 3\sqrt[3]{8} \cdot x
x^3 = 40 + 6x
x^3 - 6x - 40 = 0
x^3 - 64 - 6x + 24 = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 16) - 6(x - 4) = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 16 - 6) = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 10)

Resolvendo (x - 4):

x - 4 = 0
x = 4

Logo, verdadeira!
Pessoal, primeiramente gostaria de saber se existe algum modo "mais fácil" de se chegar a este resultaldo, também gostaria de saber o nível dessa questão de 1 a 10 tendo como base um aluno do 9º ano.

Desde já Agradeço! :)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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