Proporção Áurea

por **Arkanus Darondra** » Ter Abr 17, 2012 00:38

O Partenon, construído em Atenas, na Grécia Antiga, exemplifica o estilo e as proporções que se encontram em
quase todos os templos gregos. Do ponto de vista da geometria, sua fachada é retangular (ver figura) e possui
medidas especiais, obtidas da seguinte maneira: toma-se um segmento de comprimento l e divide-se em duas
partes, de tal forma que a razão entre o segmento todo (l) e a parte maior (x) seja igual à razão entre a parte maior e a
parte menor. A parte maior seria a base do retângulo, e a menor, a altura. Assinale a alternativa que indica essa
razão.
Imagem

R: $\frac{2}{\sqrt5 - 1}$

Encontrei uma resolução no wikipédia, porém gostaria de uma explicação para o primeiro passo(...):
$Imagem$
(...) e para a contextualização do mesmo para o seguinte trecho do enunciado: "toma-se um segmento de comprimento l e divide-se em duas
partes, de tal forma que a razão entre o segmento todo (l) e a parte maior (x) seja igual à razão entre a parte maior e a
parte menor. A parte maior seria a base do retângulo, e a menor, a altura."

Grato.

por **fraol** » Qua Abr 18, 2012 23:46

Boa noite,

Não estou certo que entendi a sua dúvida, mas como o forum serve para discutir, divergir ou convergir quando possível, vamos lá:

A proporção áurea é uma definição.

$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$

Nessa fórmula está aplicada a definição: a razão entre o todo (a+b) pela parte maior (a) é igual à razão entre a parte maior (a) pela parte menor (b) . Se duas medidas guardarem essa relação então elas estarão em proporção áurea.

Abç.

por **Arkanus Darondra** » Sáb Abr 21, 2012 00:13

Boa Noite.

Perdão. Não expressei minha dúvida claramente. Estava tentando apenas relacionar a e b com os dados do enunciado

Acho que consegui:
Chamando o lado menor de y e o maior de x, temos que, pela fórmula acima, a=x e b=y. Então:
$\frac{x+y}{x}=\frac{x}{y}=\varphi \rightarrow \varphi^2 - \varphi - 1 = 0 \Rightarrow \varphi=\frac{1 \pm \sqrt5}{2} \therefore \varphi = \frac{2}{\sqrt5-1}$

Me corrija se estiver errado.

Outra coisa... Neste caso, como l é dividido ao meio dando origem a x e y, devo considerá-lo como sendo uma espécie de planificação da altura, "juntando" esta com a base em linha reta?

Grato.

por **Russman** » Sáb Abr 21, 2012 00:34

A razão áurea é comumente escrita como

$\varphi = \frac{1+\sqrt[]{5}}{2}$

Porém, devido a sua própria definição, existe a identidade

${\varphi}^{-1} = \varphi-1$

que qualifica ${\varphi}^{-1}+1 = \varphi$ .

Assim, se vc tomar o inverso de $\varphi$ e somar 1 tera a resposta dada pelo problema.

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