Dízimas Periódicas - Indução

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Boas a todos,

Estou perante uma dúvida de como provar o seguinte por indução:

Mostrar que tem expansão puramente periódica com período 2n.

Como nunca é divisível nem por 2 nem por 5, temos então estamos perante uma dízima puramente periódica.

Para demonstrar que o período é k=2n, penso que por indução se possa calcular:

Caso base:

Temos que P(1): , ou seja, período 2.

Temos que P(2): , ou seja, período 4.

Temos que P(3): , ou seja, período 6.

etc...

Passo de Indução:



Temos que:

A minha dúvida é passar daqui e provar que tem período sempre k=2n (pelos exemplos vemos que sim, mas falta a prova).

Se alguém me puder ajudar agradecia.

Abraço!