Dúvida de Exercício

por **m0x0** » Qui Jul 21, 2011 16:02

Boa tarde,

Tenho uma dúvida num exercício que não consigo resolver, se alguém me puder ajudar agradecia.

O exercício é o seguinte:

Provar que 6 divide n*(2n-1)*(n-1)

Penso que se pode resolver por indução mas não consigo resolver uma vez que não consigo encontrar o final da sucessão para 0+1+5+14+30+55+...+ ?????? = [n*(2n-1)*(n-1)]/6

O único exercício parecido que encontrei foi que 6 divide n*(2n+1)*(n+1) onde:

1^2+2^2+...+n^2=[n*(2n+1)*(n+1)]/6

Obrigado.

Artur Benitez

por **LuizAquino** » Qui Jul 21, 2011 17:12

m0x0 escreveu:O único exercício parecido que encontrei foi que 6 divide n*(2n+1)*(n+1) onde:

1^2+2^2+...+n^2=[n*(2n+1)*(n+1)]/6

Note que nesse exercício trocando n por n - 1 obtemos:

$1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 = \frac{(n-1)[2(n-1)+1][(n-1)+1]}{6} = \frac{(n-1)(2n-1)n}{6}$

por **m0x0** » Qui Jul 21, 2011 20:19

Mas os valores que dão para [n(2n-1)(n-1)]/6 são: P(0)=0/6=0, P(1)=6/6=1, P(3)=30/6=5, P(4)=84/6, P(5)=180/6=30, P(6)=330/6=55, ... , P(n)= ???

0 + 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + ... + P(n) = [n(2n-1)(n-1)]/6

Ok, vi mal, os valores para [n(2n+1)(n+1)]/6 são também: P(0)=0/6=0, P(1)=6/6=1, P(3)=30/6=5, P(4)=84/6, P(5)=180/6=30, P(6)=330/6=55, ... , P(n)= ???

0 + 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + ... + P(n) = [n(2n+1)(n+1)]/6

Trata-se então da mesma sucessão. Mas não consigo entender qual é o P(n)

A não ser que não se consiga provar por indução matemática?

por **Guill** » Qui Jul 21, 2011 22:44

Farei de uma forma diferente:

n.(n - 1).(2n - 1)

Existem dois tipos de números:

Pares = 2x
Ímpares = 2x + 1

Considere primeiro que n é par que não pode ser dividido por três(se pudesse já estaria provado):

2x.(2x - 1).(2.2x - 1)

2x.(2x - 1).(4x - 1)

2x.(2x - 1).(2x + 2x - 1)

Se 2x não é divisível por três, obviamente seu antescessor ou seu suscessor será. Se for o seu antescessor, já está provado para os pares. Se for o seu suscessor:

(2x + 2x - 1) ---> vamos pensar nesse número.

2x ---> Não é múltiplo de 3
2x - 1---> não é múltiplo de três
2x + 1 ---> é multiplo de 3

Portanto:

2x - 2 é múltiplo de 3 (pois 2x - 2 + 3 = 2x + 1)

2x + 1 = 3a
2x - 2 = 3b

[2x + 2x - 1]

[(2x - 2 + 2) + 2x - 1]

[2x - 2 + 2x + 1]

3a + 3b = 3(a + b)

Sendo assim, quando n for par, n.(n - 1).(2n - 1) será divisível por 6.

Considere n um número ímpar:

n.(n - 1).(2n - 1)

(2x + 1).((2x + 1 - 1).(2(2x + 1) - 1)

(2x + 1)(2x)(4x + 1)

Se 2x + 1 for devisível por 3, a prova é obvia. Se não, seu antecessor ou sucessor será um múltiplo de 3. Se considerar seu antecessor, já está provado. Para o sucessor:

(2x + 1) ---> não é múltiplo de 3
2x ---> não é múltiplo de 3
(2x + 2) ---> é múltiplo de 3

Portanto 2x - 1 é multiplo de 3:

(2x + 2) = 3a
2x - 1 = 3b

(4x + 1)

(2x + 2x + 1)

[(2x - 2 + 2) + 2x + 1]

[2x + 2 + 2x - 1] = 3a + 3b = 3(a + b)

Provamos para os ímpares.

por **LuizAquino** » Qui Jul 21, 2011 22:55

É possível fazer por indução.

Temos que provar que 6 divide n(2n-1)(n-1), com n um natural.

Aqui eu vou considerar que os naturais começam com o 1. Se você está considerando que começa com o 0, então você deve adaptar a primeira parte da prova.

Primeiro passo
É válido para n = 1 que 6 divide $1\cdot (2\cdot 1 - 1)\cdot (1 - 1) = 0$ .

Segundo passo
Suponha que é válido para n que 6 divide n(2n-1)(n-1).

Terceiro passo
Vamos provar que é válido para n+1 que 6 divide (n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1].

Note que (n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1] = n(2n-1)(n-1) + 6n². (Desenvolvendo cada membro dessa equação é fácil verificar que isso é verdadeiro.)

Ora, como por hipótese 6 divide n(2n-1)(n-1) e sabemos que 6 divide 6n², temos que 6 divide a soma n(2n-1)(n-1) + 6n².

Portanto, 6 divide (n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]

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por **LuizAquino** » Sex Jul 22, 2011 00:48

Guill escreveu:(...)
Se 2x não é divisível por três, obviamente seu antescessor ou seu suscessor será.

(...)
Se 2x + 1 for devisível por 3, a prova é obvia. Se não, seu antecessor ou sucessor será um múltiplo de 3.

A sua resolução foi interessante. Porém, note que você usou um resultado sem prová-lo. Para completar o seu raciocínio seria necessário provar:

Se 3 não divide o número par p, então 3 divide p - 1 ou p + 1.

por **Guill** » Sex Jul 22, 2011 08:41

LuizAquino escreveu:
Guill escreveu:(...)
Se 2x não é divisível por três, obviamente seu antescessor ou seu suscessor será.

(...)
Se 2x + 1 for devisível por 3, a prova é obvia. Se não, seu antecessor ou sucessor será um múltiplo de 3.

A sua resolução foi interessante. Porém, note que você usou um resultado sem prová-lo. Para completar o seu raciocínio seria necessário provar:

Se 3 não divide o número par p, então 3 divide p - 1 ou p + 1.

Isso é obvio:

Se eu tenho 3 números em sequência, um deles deve ser divisível por 3. Vou provar isso:

Seja x um número:

A sua sequencia é = {...; x - 2 ; x - 1 ; x ; x + 1 ; x + 2 ...}

Coloquei 5 números à vista. Sabemos que os múltiplos de três aparecem de 3 em 3. Portanto, é impossivel 'não' existir um número múltiplo de 3 dentro desses 5 apresentados.

S = {x - 2 ; x - 1 ; x ; x + 1 ; x + 2} (pelo menos um deles é divisível por 3)

Vamos considerar que x não é múltiplo de 3. Isso implica dizer que {x - 2 ; x - 1 ; x + 1 ; x + 2} são múltiplos de 3 (não todos).

1º - Se x - 2 é múltiplo de 3 o próximo múltiplo é:

(x - 2) + 3 = (x + 1)

2º - Se x + 2 é múltiplo de 3, o anterior a esse foi:

(x + 2) - 3 = (x - 1)

Dessa forma, mostramos que seu antecessor ou seu sucessor são múltiplos de 3 desde que x não seja.

por **LuizAquino** » Sex Jul 22, 2011 10:05

Olá Guill,

Agora você completou o exercício.

Precisamos apenas reescrever a sua primeira afirmação.

Note que {1, 4, 7} são "3 números em sequência" (no caso, uma p. a. de razão 3), mas nenhum deles é divisível por 3.

Vamos então reescrever a sua afirmação para algo como:

"Se eu tenho 3 números naturais consecutivos, um deles deve ser divisível por 3."

por **m0x0** » Sáb Jul 23, 2011 14:23

Boas,

Obrigado a todos pela ajuda!

Já agora, alguém sabe de algum link para uma boa sebenta/apostila ou exercícios resolvidos de Teoria dos Anéis (Subanéis, Ideais, Geradores de Ideais, Domínios de Integridade e Corpos)?