Álgebra: Teoria dos conjuntos3

[Caeros]

Estou estudando Teoria dos Conjuntos, agradeço o apoio de voces. Por favor veja se minha solução faz sentido:

Seja A = {1,2,3}. Considere as seguintes relações em A:
= {(1,2);(1,1);(2,2);(2,1);(3,3)}
= {(1,1);(2,2);(3,3);(1,2);(2,3)}
= {(1,1);(2,2);(1,2);(2,3);(3,1)}
= AxA;
=
Quais são reflexivas?Simétrica? anti-simétricas? e Transitivas?

Solução:
Reflexivas: ;;;
Pergunto: Porque o conjunto vazio não é reflexivo?
Simétricas: ;;
Pergunto: o Conjunto Vazio é simétrico ou não?Porquê?
Transitivas: é transitiva pois, (1,2);(2,2) e obviamente implica que (1,2); como também (2,1);(1,2) implica que (2,2); ok?
não é transitiva pois, (1,2);(2,3), mas (1,3);
não é transitiva pois (1,2); (2,3); mas, (3,1);
é transitiva;
Pergunto: conjunto Vazio é transitivo, porquê? ;
Anti-Simétrica: ; ; .

[LuizAquino]

Pergunto: Porque o conjunto vazio não é reflexivo?

não é reflexiva porque, obviamente, não contém os elementos do tipo (a, a), para todo a em A.

Pergunto: o Conjunto Vazio é simétrico ou não?Porquê?

é simétrica. Lembre-se que para ser simétrica é necessário que se (a, b) esteja em R então (b, a) também deve estar. Isto é, o único problema é se acontecer de (a, b) está em R, mas (b, a) não estar. Esse problema não acontece em .

não é transitiva pois ; ; mas, ;

Correção: "(...), mas "

Pergunto: conjunto Vazio é transitivo, porquê?

Uma relação R não é transitiva se acontecer de (a, b) e (b, c) está em R, mas (a, c) não está. Esse problema não acontece em .

Observação
A todo momento você pergunta se o "conjunto vazio" é reflexivo, simétrico, transitivo, etc. Tome cuidado! O que são classificados em reflexivo, simétrico ou transitivo são as relações, não os conjuntos. Por exemplo, não faz sentido perguntar se o conjunto A={1, 2, 3} é simétrico, transitivo, reflexivo, etc.

[Caeros]

Obrigado Luiz pelas orientações!
Mesmo assim tenho um questionamento:
a relação para o cojunto A citado não é reflexiva , pois, "porque, obviamente, não contém os elementos do tipo (a, a), para todo a em A."
Analogamente não seria este o mesmo motivo para esta relação não ser simétrica e nem transitiva, por não apresentar elementos?

[LuizAquino]

a relação para o cojunto A citado não é reflexiva , pois, "porque, obviamente, não contém os elementos do tipo (a, a), para todo a em A."
Analogamente não seria este o mesmo motivo para esta relação não ser simétrica e nem transitiva, por não apresentar elementos?

Não!

Vamos pensar um pouco...

O que deve acontecer para uma relação não ser reflexiva? Basta que ela não tenha algum dos elementos (a, a), com a em A. Por exemplo, por que não é reflexiva? Porque (3, 3) não está em . O motivo é análogo para .

Para que uma relação não seja simétrica basta que (a, b) esteja em R, mas (b, a) não esteja. Por exemplo, não é simétrica, já que (1, 2) está na relação, mas (2, 1) não está.
Note que em esse problema não ocorre. Isto é, não há na relação um par (a, b) tal que (b, a) não esteja. Portanto, ela é simétrica.

Por fim, para que uma relação R não seja transitiva basta ocorrer que (a, b) e (b ,c) esteja em R, mas (a, c) não esteja. Por exemplo, não é transitiva, pois e , mas . Novamente, note que esse problema não ocorre em . Isto é, não há elementos (a, b) e (b ,c) na relação tal que (a, c) não esteja. Um outro exemplo de relação transitiva no conjunto A dado seria R = {(1, 1)}. Note que não há elementos (a, b) e (b ,c) na relação R tal que (a, c) não esteja em R.

[Caeros]

Ok Luiz;
Obrigado por colaborar, realmente nem nos livros são claros em relação a isto, e nem nos bancos das universidades há professores que tragam explicação clara, para ter uma idéia um professor de uma renomada academia aqui onde moro disse que a explicação é porque foi convencionada assim!!Valeu.

[LuizAquino]

nem nos bancos das universidades há professores que tragam explicação clara

Observação: Eu sou Professor Universitário e acredito ter esclarecido isso para você. Sendo assim, procure não afirmar coisas como essa. Além disso, existem muitos outros Professores nas Universidades que também deixariam isso claro para você.

[Caeros]

Realmente fiquei intrigado com a resposta que recebi do professor aqui na universidade, da qual citei, e acabei generalizando, pois sabia de certa forma que não era a resposta que ele deveria me dar, mas enfim reconheço a importância dos professores em nossa vida e que o que postei anteriormente está errado. Obrigado novamente professor!