• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Ajuda com Álgebra Abstrata !

Ajuda com Álgebra Abstrata !

Mensagempor Renato_RJ » Seg Jan 17, 2011 10:41

Bom dia amigos !!!

Sei que aqui é a área de Álgebra elementar, mas não sei exatamente onde postar as minhas dúvidas em Álgebra abstrata, então resolvi criar o tópico aqui mesmo, qualquer problema por favor mudem o tópico de lugar.

Alguém poderia verificar se a demonstração que fiz está correta ?

Sejam a \, \textrm{e} \, b \in \mathbb{Z} \, \textrm{e} \, d o Maior Divisor Comum deles.
Já que \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b é um ideal de (\mathbb{Z},+, \cdot), então, pelo visto acima, existe n \geq 0 tal que \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \mathbb{Z}n.
Mostre que d = n e portanto que existem e, f \in \mathbb{Z} tais que e \cdot a + f \cdot b = d.


Desenvolvimento:

Sendo \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} = \mathbb{Z}a, temos:

\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \mathbb{Z}n \quad n = mdc(a,b)

\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \{\bar{x} + \bar{y} \mid x \in \mathbb{Z}a \quad \textrm{e} \quad y \in \mathbb{Z}b\}

Agora tomemos um elemento \bar{z} tal que \bar{z} \in \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b, então:

\bar{z} = \{\bar{x} + \bar{y} \mid x \in \mathbb{Z}a \quad \textrm{e} \quad y \in \mathbb{Z}b\}

Então temos:

\bar{x} = x + a \cdot q_{1} \mid q_{1} \in \mathbb{Z}
\bar{y} = y + b \cdot q_{2} \mid q_{2} \in \mathbb{Z}

Logo:

\bar{x} + \bar{y} = x + y + (a \cdot q_{1} + b \cdot q_{2})

\bar{x} + \bar{y} = x + y + mdc(a,b) \cdot [c_{1} \cdot q_{1} + c_{2} \cdot q_{2}]

Onde mdc(a,b) = n e mdc(a,b) \cdot c_{1} = a$ e $mdc(a,b) \cdot c_{2} = b e chamaremos de q_{3} o termo [c_{1} \cdot q_{1} + c_{2} \cdot q_{2}].

Então teremos:

\bar{x} + \bar{y} = x + y + n \cdot q_{3} \Rightarrow \bar{x} + \bar{y} \in \mathbb{Z}n

\bar{z} \in \mathbb{Z}n \Rightarrow \bar{z} = z + n \cdot q_{3}

n = mdc(a,b) \Rightarrow \exists \, e\, , f \mid e \cdot a + f \cdot b = n \Rightarrow n = d
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
Avatar do usuário
Renato_RJ
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 306
Registrado em: Qui Jan 06, 2011 15:47
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado em Matemática
Andamento: cursando

Voltar para Álgebra Elementar

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante

 



Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.