Ajuda com Álgebra Abstrata !

por **Renato_RJ** » Seg Jan 17, 2011 10:41

Bom dia amigos !!!

Sei que aqui é a área de Álgebra elementar, mas não sei exatamente onde postar as minhas dúvidas em Álgebra abstrata, então resolvi criar o tópico aqui mesmo, qualquer problema por favor mudem o tópico de lugar.

Alguém poderia verificar se a demonstração que fiz está correta ?

Sejam $a \, \textrm{e} \, b \in \mathbb{Z} \, \textrm{e} \, d$ o Maior Divisor Comum deles.
Já que $\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b$ é um ideal de $(\mathbb{Z},+, \cdot)$ , então, pelo visto acima, existe $n \geq 0$ tal que $\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \mathbb{Z}n$ .
Mostre que d = n

e portanto que existem $e, f \in \mathbb{Z}$ tais que $e \cdot a + f \cdot b = d$ .

Desenvolvimento:

Sendo $\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} = \mathbb{Z}a$ , temos:

$\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \mathbb{Z}n \quad n = mdc(a,b)$

$\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \{\bar{x} + \bar{y} \mid x \in \mathbb{Z}a \quad \textrm{e} \quad y \in \mathbb{Z}b\}$

Agora tomemos um elemento $\bar{z}$ tal que $\bar{z} \in \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b$ , então:

$\bar{z} = \{\bar{x} + \bar{y} \mid x \in \mathbb{Z}a \quad \textrm{e} \quad y \in \mathbb{Z}b\}$

Então temos:

$\bar{x} = x + a \cdot q_{1} \mid q_{1} \in \mathbb{Z}$
$\bar{y} = y + b \cdot q_{2} \mid q_{2} \in \mathbb{Z}$

Logo:

$\bar{x} + \bar{y} = x + y + (a \cdot q_{1} + b \cdot q_{2})$

$\bar{x} + \bar{y} = x + y + mdc(a,b) \cdot [c_{1} \cdot q_{1} + c_{2} \cdot q_{2}]$

Onde mdc(a,b) = n

e $mdc(a,b) \cdot c_{1} = a$ e $mdc(a,b) \cdot c_{2} = b$ e chamaremos de $q_{3}$ o termo $[c_{1} \cdot q_{1} + c_{2} \cdot q_{2}]$ .

Então teremos:

$\bar{x} + \bar{y} = x + y + n \cdot q_{3} \Rightarrow \bar{x} + \bar{y} \in \mathbb{Z}n$

$\bar{z} \in \mathbb{Z}n \Rightarrow \bar{z} = z + n \cdot q_{3}$

$n = mdc(a,b) \Rightarrow \exists \, e\, , f \mid e \cdot a + f \cdot b = n \Rightarrow n = d$

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