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Ajuda com Álgebra Abstrata !

Ajuda com Álgebra Abstrata !

Mensagempor Renato_RJ » Seg Jan 17, 2011 10:41

Bom dia amigos !!!

Sei que aqui é a área de Álgebra elementar, mas não sei exatamente onde postar as minhas dúvidas em Álgebra abstrata, então resolvi criar o tópico aqui mesmo, qualquer problema por favor mudem o tópico de lugar.

Alguém poderia verificar se a demonstração que fiz está correta ?

Sejam a \, \textrm{e} \, b \in \mathbb{Z} \, \textrm{e} \, d o Maior Divisor Comum deles.
Já que \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b é um ideal de (\mathbb{Z},+, \cdot), então, pelo visto acima, existe n \geq 0 tal que \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \mathbb{Z}n.
Mostre que d = n e portanto que existem e, f \in \mathbb{Z} tais que e \cdot a + f \cdot b = d.


Desenvolvimento:

Sendo \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} = \mathbb{Z}a, temos:

\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \mathbb{Z}n \quad n = mdc(a,b)

\mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \{\bar{x} + \bar{y} \mid x \in \mathbb{Z}a \quad \textrm{e} \quad y \in \mathbb{Z}b\}

Agora tomemos um elemento \bar{z} tal que \bar{z} \in \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b, então:

\bar{z} = \{\bar{x} + \bar{y} \mid x \in \mathbb{Z}a \quad \textrm{e} \quad y \in \mathbb{Z}b\}

Então temos:

\bar{x} = x + a \cdot q_{1} \mid q_{1} \in \mathbb{Z}
\bar{y} = y + b \cdot q_{2} \mid q_{2} \in \mathbb{Z}

Logo:

\bar{x} + \bar{y} = x + y + (a \cdot q_{1} + b \cdot q_{2})

\bar{x} + \bar{y} = x + y + mdc(a,b) \cdot [c_{1} \cdot q_{1} + c_{2} \cdot q_{2}]

Onde mdc(a,b) = n e mdc(a,b) \cdot c_{1} = a$ e $mdc(a,b) \cdot c_{2} = b e chamaremos de q_{3} o termo [c_{1} \cdot q_{1} + c_{2} \cdot q_{2}].

Então teremos:

\bar{x} + \bar{y} = x + y + n \cdot q_{3} \Rightarrow \bar{x} + \bar{y} \in \mathbb{Z}n

\bar{z} \in \mathbb{Z}n \Rightarrow \bar{z} = z + n \cdot q_{3}

n = mdc(a,b) \Rightarrow \exists \, e\, , f \mid e \cdot a + f \cdot b = n \Rightarrow n = d
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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Renato_RJ
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.