FUVEST 2017 Segunda fase matemática

por **rcompany** » Qui Mar 28, 2019 15:15

FUVEST 2017 matemática segunda fase com propostas de resolução.

Comentem, corrijam!

M01

Em uma competição de vólei, estão inscritos 5 times.Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade $\frac{1}{2}$ de vencer.

a) Explique por que 2 times não podem empatar na classificação com 4 vitórias cada um

$\text{Suponhamos que os times A e B terminem com 4 vit\'orias cada. }$ $\; \text{A teria vencido B e B teria vencido A, o qual \'e imposs\'ivel.}$

b) Qual é a probabilidade que o primeiro classificado termine a competição com 4 vitórias?

$\text{Temos }{5\choose 2}=10$

$\text{com cada jogo tendo 2 resultados possive\'is:}$
$\text{h\'a }2^{10}\text{ combina\c c\~oes poss\'iveis dos resultados dos 10 jogos}$

$\text{Para qualquer time }T_i\text{, um resultado do torneio que lhe d\'a 4 vit\'orias}$

$\text{- uma combina\c c\~ao dos resultados dos seus 4 jogos que lhe d\^e 4 vitorias: tem uma s\'o ou }{4\choose 4}$
$\text{- qualquer outra combina\c c\~ao de resultados dos outros 6 jogos do torneio, cujo n\'umero \'e }2^6$

$P\big(T_i=4\big)=\dfrac{1\times 2^6}{2^{10}}=\dfrac{1}{16}$

$\begin{array}{rll}P\Big(\bigcup_{i=1}^{5}(T_i=4)\Big)=&\displaystyle \sum_{i=1}^{5}P\big(T_i=4\big)&\text{j\'a que os }T_i=4\text{ s\~ao incompat\'iveis entre se}\\ =&5\times \dfrac{1}{16}&\\ \end{array}$

c) Qual é a probabilidade de que os 5 times terminem empatados na classificação?

$\text{Seja }T_i\text{ o n\'umero de vit\'orias do time i depois de 4 jogos.}$
$\text{Queremos calcular }P(\bigcap_{i=1}^{5}(T_i=2)$

Primeira opção: passar pelo evento complementar. Reduziremos o número de cálculos já que aparecerão eventos incompatíveis (as combinações de T_i=3

e

)

$P(\bigcap_{i=1}^{5}(T_i=2)=1-P\Bigg(\overline{\bigcap_{i=1}^{5}(T_i=2)}\Bigg)=1-P(\bigcup_{i=1}^{5}(T_i=3\cup T_i=4))$
$=1-P((\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3)\cup (\bigcup_{i=1}^{5}T_i=4))\\=1-P(\bigcup_{i=1}^{5}T_i=4)-P(\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3)+P((\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3)\cap(\bigcup_{j=1}^{5}T_j=4)\\\\\\ P\big((\bigcup_{i=1}^{5}T_i=4)\big)=\dfrac{320}{1024}=\dfrac{5}{16} \\\\\\ P\big((\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3)\big)=\sum_{i=1}^{5}P(T_i=3)\\- \sum_{i\neq j}P(T_i=3\cap T_j=3)\\+\sum_{i\neq j\neq k}P(T_i=3\cap T_j=3\cap T_k=3)\\-\sum_{i\neq j\neq k\neq l}P(T_i=3\cap T_j=3\cap T_k=3\cap T_l=3)\\+ P(\bigcap_{i=1}^{5}P(T_i=3)\\ =&5\times \dfrac{{4 \choose 3}\cdot 2^6}{2^{10}}-{5 \choose 2}\times \dfrac{({3 \choose 2}{3 \choose 3}+{3 \choose 3}{3 \choose 2})\cdot 2^3}{2^{10}}\\&+{5 \choose 3}\times\dfrac{(0+{3 \choose 3}{3 \choose 3}+{3 \choose 3}{3 \choose 3}+0)\cdot 2^1}{2^{10}}+0+0\\& \text{ j\'a que 4 ou mais times n\~ao podem ter 3 vit\'orias ao mesmo tempo}\\(\text{teriamos 12 ou mais vit\'orias para 10 jogos: imposs\'ivel)}\\ =&\dfrac{1280-480+40}{1024}=\dfrac{840}{1024}=\dfrac{105}{128}\end{array}$

$P\Bigg(\Big(\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3\Big)\cap\Big(\bigcup_{j=1}^{5}T_j=4\Big)\Bigg)=P\Bigg(\bigcup_{i=1}^{5}\Big(\bigcup_{j=1}^{5} (T_i=3 \cap T_j=4)\Big)\Bigg)\\ =\sum_{i=1}^{5}P\Big( \bigcup_{j=1}^{5} (T_i=3 \cap T_j=4) \Big) \text{ j\'a que os }(T_i=3\;\cap \;T_j=4)\text{ s\~ao incompat\'iveis entre eles}\\ =\sum_{i=1}^{5}\Bigg(\sum_{j=1}^{5}P\Big( T_i=3 \cap T_j=4 \Big)\Bigg)\text{ j\'a que os }(T_i=3\;\cap \;T_j=4)\text{ s\~ao incompat\'iveis entre eles}\\ =\sum_{i=1}^{5}\Bigg(\sum_{\begin{tiny}\begin{array}{c}j=1\\j \neq i\end{array}\end{tiny}}^{5}P\Big( T_i=3 \cap T_j=4 \Big)+\sum_{j=1}^{5}P\Big( T_i=3 \cap T_i=4 \Big)\Bigg)\\ =5\times \Big( 4\times \dfrac{{4 \choose 4}{3 \choose 3}\cdot 2^3}{2^{10}}+5\times 0\Big)=\dfrac{160}{1024}=\dfrac{5}{32}$

$\text{E ent\~ao }P\Big(\bigcap_{i=1}^{5}T_i=2\Big) = \dfrac{1024-320-840+160}{1024}= \dfrac{24}{1024}=\dfrac{3}{128}$

Segunda Opção: usar os resultados possíveis dos jogos de 4 times entre eles

$\text{Seja }C_4\text{ a classifica\c c\~ao por n\'umero de vit\'orias depois dos 6 jogos de 4 times entre se,}$
$\text{ou seja um time ainda n\~ao jogou contra ningu\'em}$

$\text{E ent\~ao }$

$\begin{array}{rl}P\Big(\bigcap_{i=1}^{5}T_i=2\Big)=&P\Big(\big(\bigcap_{i=1}^{5}T_i=2\big)\slash C_4=(2,2,1,1)\Big) \times P\big(C_4=(2,2,1,1)\big)\\ =&\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{384}{2^{10}}=\dfrac{1}{2^4}\cdot\dfrac{3\cdot2^7}{2^{10}}=\dfrac{3}{128}=\dfrac{24}{1024}\end{array}$

Terceira opção: calcular diretamente $P\Big(\bigcap_{i=1}^5T_i=2\Big)$

$\begin{array}{rl}P\Big(\bigcap_{i=1}^5T_i=2\Big)=&P(T_1=2)\cdot P\big(T_2=2\slash T_1=2\big)\\&\cdot P\big(T_3=2\slash (T_1=2\cap T_2=2)\big)\\&\cdot P\Big(T_4=2\slash\bigcap_{i=1}^{3}T_i=2\Big)\cdot P\Big(T_5=2\slash\bigcap_{i=1}^{4}T_i=2\Big)\end{array}$

$P(T_1=2)=\dfrac{{4 \choose 2}\cdot 2^6}{2^{10}}=\dfrac{384}{1024}=\dfrac{3}{8}$

$P(T_2=2\slash T_1=2)=\dfrac{\big(\binom{1}{3}\binom{2}{3}+\binom{2}{3}\binom{1}{3}\big)2^3}{384}=\dfrac{144}{384}=\dfrac{3}{8}$

$P\big(T_3=2\slash (T_1=2\cap T_2=2)\big)=\\\dfrac{\Big(2\times \big(\binom{0}{2}\binom{1}{2}\binom{2}{2}\big)+2\times\big(\binom{0}{2}\binom{2}{2}\binom{1}{2}+\binom{1}{2}\binom{1}{2}\binom{1}{2}\big)+2\times\big(\binom{1}{2}\binom{2}{2}\binom{0}{2}\big)\Big)2^{1}}{144}\tag{dasdasdasd}\\=\dfrac{(2\times 2 +2\times 10+2\times 2)2^{1}}{144}\\=\dfrac{56}{144}=\dfrac{7}{18}$

$P\Big(T_4=2\slash\bigcap_{i=1}^{3}T_i=2\Big)=\dfrac{24}{56}=\dfrac{3}{7}$

$\text{E ent\~ao }P\Big(\bigcap_{i=1}^5T_i=2\Big)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{7}{18}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{3}{128}=\frac{24}{1024}$

M02

Considere as funções $f:\;[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\rightarrow[-1;1]$ e $g:\;[0;\pi]\rightarrow[-1;1]$ definidas por $f(x)=\sin{x}$ e $g(x)=\cos{x}$ . Sendo f e g bijetoras, existem funções $f^{-1}$ e $g^{-1}$ tais que $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id$ e $g\circ g^{-1}=g^{-1}\circ g=id$ , em que

é a função identidade.

a) Para $0\leq \alpha\leq 1$ , mostre que $g \circ f^{-1}(\alpha)=\sqrt{1-\alpha^2$

$g\circ f^{-1}(\alpha) = cos(f^{-1}(\alpha))=\sqrt{1-sin^2(f^{-1}(\alpha))} \text{ j\'a que }0\leq\alpha\leq 1\Rightarrow 0\leq f^{-1}(\alpha)\leq \frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos{(f^{-1}(\alpha))\geq 0$
$\text{Ou seja } g \circ f^{-1}(\alpha)=\sqrt{1-(f\circ f^{-1}(\alpha))^2}=\sqrt{1-\alpha^2$

$\text{Da mesma forma mostra-se que } f \circ g^{-1}(\alpha)=\sqrt{1-\alpha^2$

b) Mostre que $f^{-1}(\frac{1}{2}) + g^{-1}(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})=\frac{\pi}{4}$

Usar o resultado da primeira questão é um complicação desnecessária quando:

$\begin{array}{rl}f^{-1}(\dfrac{1}{2}) + g^{-1}(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})=&f^{-1}(\sin{\dfrac{\pi}{6}})+g^{-1}(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})\\[\bigskipamount]=&\dfrac{\pi}{6} +g^{-1}\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{2}\Big )\\[\bigskipamount]=&\dfrac{\pi}{6} +g^{-1}\Big(\cos{\dfrac{\pi}{4}}\cos{\dfrac{\pi}{6}}+\sin{\dfrac{\pi}{4}}\sin{\dfrac{\pi}{6}\Big)\\ [\bigskipamount]=&\dfrac{\pi}{6} +g^{-1}\big (\cos{(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6})}\big)\\ [\bigskipamount]=&\dfrac{\pi}{6} +\dfrac{\pi}{12}\\[\bigskipamount]=&\dfrac{\pi}{4}\end{array}$

Ou, usando o resultado de a):

$\begin{array}{rl}\cos{\Big (f^{-1}\big(\dfrac{1}{2}\big)+g^{-1}\big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\big)\Big)}=&\sqrt{1-\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2}\cdot \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1-\Big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\Big)^2}\\ =&\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{2}}{8}-\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{8}\\ =&\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{2}}{8}-\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{8}\\ =&\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{2}}{8}=\dfrac{4\sqrt{2}}{8}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ =&\cos{\dfrac{\pi}{4}} \end{array}$

$\cos{\Big (f^{-1}\big(\dfrac{1}{2}\big)+g^{-1}\big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\big)\Big)}=\cos{\dfrac{\pi}{4}}\Rightarrow g\Bigg(\cos{\Big (f^{-1}\big(\dfrac{1}{2}\big)+g^{-1}\big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\big)\Big)}\Bigg)=g\Bigg(\cos{\dfrac{\pi}{4}}\Bigg)\\ \Rightarrow f^{-1}\big(\dfrac{1}{2}\big)+g^{-1}\big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\big)=\dfrac{\pi}{4}$

M03

Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que $P\notin C$ , Diz-se que "P enxerga C sob um ângulo $\alpha$ se $\alpha$ for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C.

a) Se C for um circulo de raio r , centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 60 graus

$\text{Seja O o centro de }\mathcal{C}\text{. As duas retas }P_1,P_2\text{ compondo o \^angulo }\alpha\text{ s\~ao tangentes de }\mathcal{C}.$
$\text{Sejam A e B os pontos de intersec\c c\~ao entre }P_1,P_2\; e\;C \text{.Sabemos que ent\~ao }(PA)\;e\;(OA)\\\text{ s\~ao perpendiculares.}$
$\text{O \'e equidistante de }P_1\; e\;P_2\;\;(|OA|=|OB|=r) \text{,e ent\~ao PO \'e bissetriz de }\alpha,\\ \text{e }\widehat{OPA}=\frac{\alpha}{2}.$

$\text{No triangulo OPA temos ent\~ao }\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{|OA|}{|OP|},\;ou\;|OP|=\frac{|OA|}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{r}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.$

$\text{P pertence ao c\'irculo }\mathcal{C}(O,\frac{r}{\sin{\frac{\alpha}{2}}})\text{ de centro O e de raio }\frac{r}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{r}{\sin{\frac{\pi}{6}}}=2r$

b) Se $\mathcal{C}$ for a união dos segmentos

e

em que

,

e

, com

, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam $\mathcal{C}$ sob um ângulo de 90 graus.

$\text{Se }x>0,y>0\text{ ou }x<0,y<0$
$\alpha=\widehat{APB}\\ \text{no triangulo APB temos } AP^2+BP^2=AB^2\\ \begin{array}{rl}\text{e }AP^2+BP^2=AB^2 \Leftrightarrow&y^2+(x-a)^2+(y-b)^2+x^2=a^2+b^2\\ \Leftrightarrow&x^2-2\dfrac{a}{2}x+y^2-2\dfrac{b}{2}y=0\\ \Leftrightarrow&(x-\dfrac{a}{2})^2+(y-\dfrac{b}{2})^2=\dfrac{a^2+b^2}{4}\\ \Leftrightarrow&P\in \Bigg (\mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x>0,y>0}\bigcup\mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x<0,y<0}\Bigg )\\&\text{arcos de c\`irculo de centro }(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2})\text{ e de raio }\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\&\text{ com }(x>0,y>0)\text{ ou }(x<0,y<0)\end{array}$
$\text{E j\'a que: }$
$\begin{array}{rl} \left \begin{array}{rl}x<0\\y<0 \end{array}\right \} &\Rightarrow \left \{ \begin{array}{rl}(x-\dfrac{a}{2})>\dfrac{a^2}{4}\\[\bigskipamount](y-\dfrac{b}{2})>\dfrac{b^2}{4} \end{array} \right \\[\bigskipamount]&\Rightarrow \big (x-\dfrac{a}{2}\big )^2+\big (y-\dfrac{b}{2}\big )^2>\dfrac{a^2+b^2}{4}\\[\bigskipamount]&\Rightarrow \mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x<0,y<0}=\emptyset ,\end{array}\\$

$\text{temos } P\in \mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x>0,y>0}$
$\text{Se }x\leq 0,y\geq 0$
$\alpha=\widehat{BPO}\\ \text{no triangulo OPB temos } BP^2+OP^2=OB^2\\ \begin{array}{rl}\text{e }BP^2+OP^2=OB^2 \Leftrightarrow&x^2+(y-b)^2+x^2+y^2=b^2\\ \Leftrightarrow&x^2+(y-\dfrac{b}{2})^2=\dfrac{b^2}{4}\\ \Leftrightarrow&P\in \mathcal{C}\Big((0,\dfrac{b}{2}),\dfrac{b}{2}\Big)_{x\leq 0,y\geq 0}\end{array}$
$\text{Se }x>0,y<0$
$\alpha=\widehat{APO}\\ \text{no triangulo OPA temos } AP^2+OP^2=OA^2\\ \begin{array}{rl}\text{e }AP^2+OP^2=OA^2 \Leftrightarrow&(x-a)^2+y^2+x^2+y^2=a^2\\ \Leftrightarrow&(x-\dfrac{a}{2})^2+y^2=\dfrac{a^2}{4}\\ \Leftrightarrow&P\in \mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},0),\dfrac{a}{2}\Big)_{x>0,y<0}\end{array}$

$\text{Seja E o conjunto dos pontos P que enxergam OA e OB sob o \^angulo }\alpha,\\\ E=\mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x>0,y>0}\bigcup\mathcal{C}\Big((0,\dfrac{b}{2}),\dfrac{b}{2}\Big)_{x\leq 0,y\geq 0}\end{array}\bigcup\mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},0),\dfrac{a}{2}\Big)_{x>0,y<0}\end{array}$

M04

Considere a sequência a_1=6, a_2=4, a_3=1, a_4=1

e $a_n=a_{n-4}$ para $n\geq 5$ . Defina $S_n^k=a_n+...+a_{n+k}$ para $k\geq 0$ , isto é a soma de (k+1) termos consecutivos da sequência começanco no n-ésimo, por exemplo S_2^1-4+1=5

a) Encontre n,k

tais que

b) Para cada inteiro

, $1\leq j \leq 12$ , encontre n,k

tais que

$\begin{array}{ccl>{\Tiny}}j&n&k&S_n^k\\\hline 1&3&0&a_3=1\\ 2&4&0&a_4=2\\ 3&3&1&a_3=1\\ 4&2&0&a_2=4\\ 5&2&1&a_2+a_1=4+1=5\\ 6&1&0&a_1=6\\ 7&2&2& a_2+a_3+a_4=4+1+2=7\\ 8&4&1&a_4+a_5=2+6=8\\ 9&3&2&a_3+a_4+a_5=1+2+6=9\\ 10&1&1&a_1+a_2=6+4=10\\ 11&1&2&a_1+a_2+a_3=6+4+1=11\\ 12&4&2&a_4+a+5+a_6=2+6+4=12\end{array}$

3) Mostre que para qualquer inteiro $j, j\geq 1$ , existem inteiros $n\geq 1,k\geq 0$ tais que S_n^k=j

$\forall j \in \mathBB{N}^*, \exists p,q \in \mathbb{N} \slash j=p\times 13 +q,\text{com }0\leq q<13\\ \text{Ao mesmo tempo, }\forall t\in \mathbb{N}^*, S_t^{3}=13\text{ e } 1\leq q\leq 12 \Rightarrow \exists (u,v) \in \mathbb{N}^*\!\times\! \mathbb{N}\;\slash\; q=S_u^v$

$\text{Temos ent\~ao }:\\\begin{array}{rl}j=p\times 13+S_u^v=&\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1} S_{u+v+1+4i}^{3}+\sum_{i=u}^{u+v} a_i\\ =&\displaystyle \sum_{i=u+v+1}^{u+v+1+4(p-1)+3}\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!a_i\;\;\;\;\;\;+\sum_{i=u}^{u+v} a_i\\ =&\displaystyle \sum_{i=u}^{u+v+4p} \!\!\!\!\!\!a_i=S_{u}^{v+4p}\\ =&S_n^k \text{ com }n=u\text{ e }k=v+4p\end{array}\\ \\ \text{Demostramos que }\forall j\in\mathbb{N}^*,\;\exists (n,k)\in \mathbb{N}^*\!\!\!\times\!\!\mathbb{N}\;\slash\;j=S_n^k$

M05

Para responder aos itens a) e b) considere a figura correspondente

a) num tetraedro OABC, os ângulos $\widehat{AOB}$ , $\widehat{BOC}$ e $\widehat{COA}$ medem 90 graus. Sejam $\alpha$ e $\beta$ as medidas dos ângulos $\widehat{ACO}$ e $\widehat{BCO}$ , respetivamente,expresse o cosseno do ângulo $\widehat{ACB}$ em função de $\alpha$ e $\beta$

Imagem

$\text{Seja }\gamma=\widehat{ACB}. \text{ No triangulo ACB temos }cos{\gamma}=\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{CD}{AC};\\ \text{no triangulo OAC temos }\cos{\alpha}=\dfrac{CE}{OC}=\dfrac{OC}{AC};\\ \text{no triangulo OBC temos }\cos{\beta}=\dfrac{CD}{OC}=\dfrac{OC}{BC}\\ \\ \text{e ent\~ao } \cos{\gamma}=\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{OC\cos{\alpha}}{BC}=\dfrac{OC\cos{\alpha}}{\dfrac{OC}{\cos{\beta}}}=\cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}$

b) Um navio parte do ponto de latitude 0° e de longitude 0°e navega até chagar ao ponto de latitude 45° sul e longitude 45° oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a terra seja esférica de raio R=6000km

. Qual foi a distância percorrida pelo navio?

Imagem

$\text{Estamos no caso em que: }$

$C\text{ \'e o centro do globo terrestre}$
$CA=CB=6000\;km$
$\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{4}$

$\cos{\gamma}=\cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}=\big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big)^2=\dfrac{1}{2}\\ \text{e ent\~ao }\gamma=\dfrac{\pi}{3}$

$\text{O arco de c\'irculo de centro C e de raio igual \`a 6000 km percorrido tem comprimento de:}\\ (6000\times 2\times \pi)\times \dfrac{\dfrac{\pi}{3}}{2\pi}=\dfrac{6000\times 2\times \pi}{6}=2000\times \pi \approx 6280 km$

M06

Considere a função real definida por $f(x)=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}-x$

a) Qual é o domínio de f?

$f(x)\;existe\;\Leftrightarrow &\left \{ \begin{array}{l} x\neq 0\\x-\dfrac{1}{x}\geq 0\\1-\dfrac{1}{x}\geq 0 \end{array} \right\\$

$x-\dfrac{1}{x}\geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-1}{x} \geq 0 \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}x^2-1\geq 0\;se\;x> 0\\x^2-1\leq 0\;se\;x< 0 \end{array} \right\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}x\geq 1\;se\;x> 0\\x\geq -1\;se\;x< 0 \end{array} \right\Leftrightarrow x\in [-1;0[\cup]1;+\infty[$

$1-\dfrac{1}{x}\geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}x\geq 1\;se\;x> 0\\x\leq 1\;se\;x< 0 \end{array} \right\Leftrightarrow x\in ]-\infty;0[\cup[1;+\infty[$

$\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*\;\; \cap\;\; \big ([-1;0[\cup]1;+\infty[\big )\;\; \cap \;\;\big (]-\infty;0[\cup[1;+\infty[\big )=[-1;0[\cup[1;+\infty[$

b) Encontre o(s) valor(es) de

para o(s) qual(is) f(x)=0

$x\in [-1;0[ \Rightarrow \left \{\begin{array}{l}-x>0\\\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}>0 \end{array} \right \Rightarrow f(x)>0\\ \\ \text{f n\~ao tem raiz em }[-1;0[$

$\text{Seja }x\in [1;+\infty[\\ \\ \begin{array}{rl} f(x)=0 \Leftrightarrow &\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=x-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}\\ \Leftrightarrow & x-\dfrac{1}{x}=x^2+1-\dfrac{1}{x}-2x\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}\\ \Leftrightarrow & x^2-x+1=2x\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}\\ \Leftrightarrow &x^4-2x^3+3x^2-2x+1=4x^2-4x\\ \Leftrightarrow &x^4-2x^3-x^2+2x+1=0\\ \Leftrightarrow & x^2+\dfrac{1}{x^2} -2(x-\dfrac{1}{x})-1=0\\ \Leftrightarrow & \big (x-\dfrac{1}{x}\big )^2 +2-2(x-\dfrac{1}{x})-1=0\\ \Leftrightarrow & X^2 -2X+1=0 \text{ com }X=x-\dfrac{1}{x}\\ \Leftrightarrow & \big (X-1\big )^2=0 \Leftrightarrow X=1\\ \Leftrightarrow & x-\dfrac{1}{x}=1\\ \Leftrightarrow & x^2-x-1=0\\ \Leftrightarrow & x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ , j\'a que }\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\in [1;+\infty[\text{ e }\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\notin [1;+\infty[\\ \end{array}$

$\text{f admite }\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ como \'unica raiz}$

FUVEST 2017 Segunda fase matemática

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